PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN SATU VARIABEL

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL

A.    KALIMAT TERBUKA

1.      Pernyataan

Dalam kehidupan sehari-hari sering kita menjumpai berbagai macam kalimat berikut

a.       Jakarta adalah ibukota Indonesia

b.      Gunung Merapi terletak di Jawa Tengah

c.       8 > -5

Ketiga kalimat diatas merupakan kalimat yang bernilai benar, karena setiap orang mengakui kebenaran kalimat tersebut. Selanjutnya perhatikan kalimat-kalimat berikut.

a.       Tugu Monas terletak di Yogyakarta

b.      2 + 5 < -2

c.       Matahari terbenam diarah timur

Ketiga kalimat tersebut merupakan kalimat yang bernilai salah, karena setiap orang tidak sependapat dengan kalimat tersebut.

Kalimat yang dapat ditentukan nilai kebenarannya(bernilai benar atau salah) disebut pernyataan.

2.      Kalimat terbuka dan Himpunan penyelesaian kalimat terbuka

Dapatkah kalian menjawab kalimat pernyataan “Indonesia terletak di benua x”. Jika x diganti Asia maka kalimat itu bernilai benar. Adapun jika x diganti Eropa maka kalimat tersebut bernilai salah. Kalimat “ Indonesia terletak di benua x” disebut kalimat terbuka.

Contoh:

a.       3 - x = 6, x anggota bilangan bulat

b.      12 – y = 7, y anggota himpunan bilangan cacah

c.       z × 5 = 15, z anggota himpunan bilangan asli

Kalimat 3 – x = 6,x anggota bilangan bulat akan bernilai benar jika x diganti dengan – 3. Selanjutnya x disebut variabel, sedangkan 3 dan 6 disebut konstanta

Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat variabel dan belum ditentukan nilai kebenarannya

Variabel adalah lambang(simbol) pada kalimat terbuka yang dapat diganti oleh sebarang anggota himpunan yang telah ditentukan.

Konstanta adalah nilai tetap (tertentu) yang terdapat pada kalimat terbuka.

Sekarang perhatikan kalimat  9. Jika variabel x diganti -3 atau 3 maka kalimat  = 9 bernilai benar. Dalam hal ini x = -3 atau x = 3 adalah penyelesaian dari kalimat terbuka 9. Jadi himpunan penyelesaian  = 9 adalah {-3, 3}.

Himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka adalah himpunan dari semua pengganti dari variabel-variabel pada kalimat terbuka sehingga kalimat tersebut bernilai benar.

UJI KOMPETENSI 1

1.      Tentukan nilai kebenaran kalimat berikut.

a.       Jumlah dua bilangan ganjil selalu merupakan bilangan genap

b.      18 + 6 = 6 + 18 merupakan sifat asosiatif penjumlahan

c.       Hasil kali 3 dan 9 adalah 21

d.      Arti 4 × 5 adalah 5 + 5 + 5 + 5

e.       Jika p dan q adalah bilangan prima maka p × q adalah bilangan ganjil

2.      Jika x adalah variabel pada bilangan 3,6,9,12 dan 15, tentukan penyelesaian kalimat terbuka dibawah ini.

a.       x habis dibagi 3

b.      x adalah bilangan ganjil

c.       x adalah faktor dari 30

d.      x – 3 = 6

e.       x adalah bilangan prima

3.      Tentukan himpunan penyelesaian dari kalimat berikut jika variabel pada himunan bilanan bulat.

a.       x + 8 = 17

b.      y : 5 = - 12

c.       15 – p = 42

d.      9 – m = 108

e.       n + n + n + n = 52

f.       a × a = 81

4.      Tentukan himpunan penyelesaian kalimat terbuka berikut jika x adalah variabel pada himpunan A = {1,2,3…,25}

a.       x adalah faktor dari 25

b.      x adalah bilangan prima

c.       x adalah bilangan ganjil kurang dari 15

d.      x adalah kelipatan 2

B.     PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL

1.      Pengertian persamaan dan himpunan penyelesaian persamaan linear satu variabel

Perhatikan kalimat terbuka x + 1 = 5

Kalimat terbuka tersebut dihubungkan oleh tanda sama dengan (=). Selanjutnya,kalimat terbuka dihubungkan oleh tanda sama dengan (=) disebut persamaan.

Persamaan dengan satu variabel berpangkat satu atau berderajat satu disebut persamaan linear satu variabel

Jika x pada persamaan x + 1 = 5 diganti dengan x = 4 maka persamaan tersebut bernilai benar. Adapun jika x diganti bilangan selain 4 maka persamaan x + 1 = 5 bernilai salah. Dalam hal ini x = 4 disebut penyelesaian dari persamaan linear x + 1 = 5. Selanjutnya himpunan penyelesaian dari x + 1 = 5 adalah {4}.

Pengganti variabel x yang mengakibatkan persamaan bernilai benar disebut penyelesaian persamaan linear. Himpunan semua penyelesaian persamaan linear disebut himpunan penyelesaian persamaan linear.

Persamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang dihubungkan oleh tanda sama dengan (=) dan hanya mempunyai variabel berangkat satu. Bentuk umum persamaan liear satu variabel adalah ax + b = 0 dengan a ≠ 0.

Contoh:

1.      Dari kalimat berikut tentukan yang mana  merupakan persamaan linear satu variabel

a.       2 x – 3 = 5

b.       - x = 2

c.        x = 5

d.      2 x + 3y = 6

Penyelesaian:

a.       2 x – 3 = 5

Variabel pada 2 x – 3 = 5 adalah x dan berpangkat 1,sehingga persamaan 2 x – 3 = 5 merupakan ersamaan linear satu variabel

b.      - x = 2

Variabel pada persamaan  – x = 2 adalah x berpangkat 1 dan 2. Karena terdapat x berpangkat 2 maka persamaan - x = 2 bukan merupakan persamaan linear satu variabel.

c.        x = 5

Karena variabel pada persamaan  x = 5 adalah x dan berpangkat 1,maka  x = 5 merupakan persamaan linear satu variabel.

d.      2 x + 3 y = 6

Variabel pada persamaan 2 x + 3 y = 6 ada dua yaitu x dan y, sehingga 2 x + 3 y = 6 bukan merupakan persamaan linear satu variabel.

2.      Himpunan penyelesaian persamaan linear satu variabel dengan Substitusi

Penyelesaian persamaan linear satu variabel dapat diperoleh dengan cara subtitusi, yaitu mengganti variabel dengan bilangan yang sesuai sehingga persamaan tersebut menjadi kalimat yang bernilai benar.

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan x + 4 = 7, jika x pada himpunan bilangan cacah

Penyelesaian:

Jika x diganti bilangan,diperoleh

Substitusi x = 0, maka 0 + 4 = 7 (kalimat salah)

Substitusi x = 1, maka 1 + 4 = 7 (kalimat salah)

Substitusi x = 2, maka 2 + 4 = 7 (kalimat salah)

Substitusi x = 3, maka 3 + 4 = 7 (kalimat benar)

Substitusi x = 4, maka 4 + 4 = 7 (kalimat salah)

Ternyata untuk x = 3, persamaan x + 4 = 7 menjadi kalimat yang benar. Jadi himpuna penyelesaian persamaan x + 4 = 7 adalah {3}

UJI KOMPETENSI 2

1.      Tentukan yang merupakan persamaan linear satu variabel dan berikan alasannya.

a.       x + y + z = 20

b.       + 2x – 5 = 0

c.      

d.      3x – 2 = 7

e.        +  = 16

f.      

2.      Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan-persamaan dibawah ini dengan cara substitusi, jika peubah (variabelnya) pada himpunan bilangan bulat.

a.       4 + p = 3                                        g.

b.      q – 2 = 6                                        h.

c.       2a + 3 = 6                                      i. 2 – z = z - 3

d.      9 – 3r = 6                                      j. 3a – 2 = -a + 18

e.       18 = 10 – 2m                                 k.  (4x + 2) = 3

f.       1 = 9 + x                                       l. 2a – 1 = 3a – 5

3.      Persamaan-persamaan yang ekuivalen

Perhatikan uraian berikut.

a.       x – 3 = 5

jika x diganti bilangan 8, maka 8 – 3 = 5 (benar)

jadi, penyelesaian x – 3 = 5 adalah x = 8

b.      2x – 6 = 10… (kedua ruas pada persamaan a dikalikan 2)

Jika x diganti bilangan 8 maka 2(8) – 6 = 10

⇔ 16 – 6 = 10 (benar)

                              Jadi, penyelesaian persamaan 2x – 6 = 10 adalah x = 8

c.       x + 4 = 12… (kedua ruas pada persamaan a ditambah 7)

jika x diganti bilangan 8, maka 8 + 4 = 12 (benar)

jadi, penyelesaian persamaan x + 4 = 12 adalah x = 8

Berdasarkan uraian diatas tampak bahwa ketiga persamaan mempunyai penyelesaian yang sama, yaitu x = 8. Persamaan-persamaan diatas disebut persamaan yang ekuivalen.

Suatu persamaan yang ekuivalen dapat dinotasikan dengan “ ⇔ “.

Dengan demikian bentuk x – 3 = 5; 2x – 6 = 10;dan x + 4 = 12 dapat dituliskan sebagai x – 3 = 5 ⇔ 2x – 6 = 10 ⇔ x + 4 = 12. Jadi dapat dikatakan seperti berikut.

Dua persamaan atau lebih dikatakan ekuivalen jika mempunyai himpunan penyelesaian yang sama dan dinotasikan dengan tanda “ ⇔ “.

Amatilah uraian berikut.

Pada persamaan x – 5 = 4, jika x diganti 9 maka akan bernilai benar, sehingga himpunan penyelesaian dari x – 5 = 4 adalah {9}. Perhatikan jika kedua ruas masing-masing ditambahkan dengan bilangan 5 maka

            x – 5 = 4

⇔ x – 5 + 5 = 4 + 5

⇔              x = 9

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan x – 5 = 4 adalah {9}.

            Dengan kata lain, persamaan x – 5 = 4 ekuivalen dengan persamaan x = 9, atau ditulis x – 5 = 4 ⇔ x = 9

Suatu persamaan dapat dinyatakan ke dalam persamaan yang ekuivalen dengan cara

a.      menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama;

b.      mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama.

Contoh:                                                                                                

1.      Tentukan himpunan penyelesaian persamaan 4x – 3 = 3x + 5 jika  x variabel pada

himpunan bilangan bulat.

Penyelesaian:

 4x – 3 = 3x + 5

   ⇔ 4x – 3 + 3 = 3x + 5 + 3 (kedua ruas ditambah 3)

   ⇔ 4x             = 3x + 8

   ⇔ 4x – 3x     = 3x – 3x + 8 (kedua ruas dikurangi 3x)

   ⇔         x       = 8

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan 4x – 3 = 3x + 5 adalah x = {8}.

2.      Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 3x + 13 =5 – x, untuk x variabel pada himpunan bilangan bulat.

Penyelesaian:

3x + 13 = 5 – x

⇔ 3x + 13 – 13 = 5 – x – 13 (kedua ruas dikurangi 13)

⇔ 3x                 = –8 – x

⇔ 3x + x           = –8 – x + x (kedua ruas ditambah x)

⇔ 4x                 = –8

œ

     

      ⇔  x 4x           =  x (-8)     (kedua ruas dikalikan )

      ⇔ x                  = (-2) 

    Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan 3x + 13 = 5 – x adalah x = {–2}.

     UJI KOMPETENSI 3

1.      Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut dengan menambah

atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama, jika variabel pada himpunan bilangan bulat.

a. m – 9 = 13

b. –11 + x = 3

c. 2a + 1 = a – 3

d. 12 + 3a = 5 + 2a

e. 3(x + 1) = 2(x + 4)

f. 5(y – 1) = 4y

g. 4(3 – 2y) = 15 – 7y

h. 3(2y – 3) = 5(y – 2)

i. 8 – 2(3 – 4y) = 7y – 1

j. 5x + 7(3x + 2) = 6(4x + 1)

           2.   Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut dengan mengalikan

                 atau membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama, jika variabel pada

                 himpunan bilangan bulat.

a. 2x + 3 = 11

b. 7x = 8 + 3x

c. 3p + 5 = 17 – p

d. 7q = 5q – 12

e. 6 – 5y = 9 – 4y

f. 7n + 4 = 4n – 17

g. 2(5 – 2x) = 3(5 – x)

h. –2x + 5 = –(x + 9)

i. 18 + 7x = 2(3x – 4)

j. 3(2x – 3) – 2(1 – x) – (x + 3) = 0

C.    PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL

Dalam kehidupan sehari-hari, tentu kalian pernah menjumpai atau menemukan

kalimat-kalimat seperti berikut.

a. Berat badan Asti lebih dari 52 kg.

b. Tinggi badan Amri 7 cm kurang dari tinggi badanku.

c. Salah satu syarat menjadi anggota TNI adalah tinggi badannya

    tidak kurang dari 165 cm.

d. Sebuah bus dapat mengangkut tidak lebih dari 55 orang.

Bagaimana menyatakan kalimat-kalimat tersebut dalam bentuk kalimat matematika?

Untuk dapat menjawabnya pelajari uraian berikut.

1. Pengertian Ketidaksamaan

Agar kalian memahami pengertian ketidaksamaan, coba ingat

kembali materi di sekolah dasar mengenai penulisan notasi <, >,

≤ , ≥ , dan  ≠ .

a. 3 kurang dari 5 ditulis 3 < 5.

b. 8 lebih dari 4 ditulis 8 > 4.

c. x tidak lebih dari 9 ditulis x ≤  9.

d. Dua kali y tidak kurang dari 16 ditulis 2y  16.

               Kalimat-kalimat 3 < 5, 8 > 4, x  ≤  9, dan 2y  ≥ 16 disebut ketidaksamaan.

Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut.

Suatu ketidaksamaan selalu ditandai dengan salah satu tanda hubung berikut.

“<” untuk menyatakan  kurang dari.

“>” untuk menyatakan  lebih dari.

“≤ ” untuk menyatakan  tidak lebih dari atau  kurang dari

atau sama dengan.

“ ≥ ” untuk menyatakan  tidak kurang dari atau  lebih dari atau sama dengan.

2. Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Di bagian depan telah kalian pelajari bahwa suatu persamaan

selalu ditandai dengan tanda hubung “=”. Pada bagian ini kalian akan mempelajari ciri

suatu pertidaksamaan.

Perhatikan kalimat terbuka berikut.

a. 6x < 18                                c. p + 2  ≤  5

b. 3p – 2 > p                            d. 3x – 1  ≥  2x + 4

Kalimat terbuka di atas menyatakan hubungan ketidaksamaan.Hal ini ditunjukkan

adanya tanda hubung <, >, ≤ , atau  ≥. Kalimat terbuka yang menyatakan

hubungan ketidaksamaan (<, >,  ≤ , atau  ≥ ) disebut pertidaksamaan.

Pada kalimat (a) dan (d) di atas masing-masing mempunyai satu variabel yaitu x

yang berpangkat satu (linear). Adapun pada kalimat (b) dan (c) mempunyai satu

variabel berpangkat satu, yaitu p. Jadi, kalimat terbuka di atas menyatakan

suatu pertidaksamaan yang mempunyai satu variabel dan berpangkat satu.

Pertidaksamaan linear satu variabel adalah pertidaksamaan yang hanya mempunyai

satu variabel dan berpangkat satu (linear).

Dari bentuk-bentuk berikut, tentukan yang merupakan pertidaksamaan linear dengan

satu variabel.

a. x – 3 < 5

b. a  ≤  1 – 2b

c.   – 3x  ≥  4

Penyelesaian:

a. x – 3 < 5

Pertidaksamaan x – 3 < 5 mempunyai satu variabel,yaitu x dan berpangkat 1, sehingga

 x – 3 < 5 merupakan pertidaksamaan linear satu variabel.

b. a  ≤  1 – 2b

Pertidaksamaan a ≤  1 – 2b mempunyai dua variabel,yaitu  a dan  b yang masing-

masing berpangkat 1.Dengan demikian a  ≤  1 – 2b bukan suatu pertidaksamaan linear

satu variabel.

c.  – 3x  ≥  4

Karena pertidaksamaan   – 3x  ≥ 4 mempunyai variabel x dan , maka  – 3x ≥ 4

            bukan merupakan pertidaksamaan linear satu variabel.

  

   UJI KOMPETENSI 4

1.      Sisipkan lambang >, =, atau < di antara pasangan bilangan di bawah ini sehingga

menjadi pernyataan yang benar.

a. 3 … –8                          d. –2 … –4

b. 16 … 42                        e.  …

c. 0,1 … 0,5

2. Tulislah kalimat berikut dalam bentuk ketidaksamaan.

      a. 9 kurang dari 13

      b. 3 terletak antara –2 dan 5

      c.  m lebih dari 4

      d. y tidak kurang dari 50

      e. n tidak lebih dari 45

      f. l paling sedikit 72

3. Nyatakan bentuk-bentuk berikut menjadi satu ketidaksamaan.

      a. 3 < 5 dan 5 < 8

      b. 0 > –1 dan –1 > –5

      c. 10 > 4 dan 10 < 15

      d. 2 < 6 dan 2 > –3

      e. 3 > –6 dan 3 < 10

      f. –5 < 0 dan –5 > –7

4. Tulislah kalimat berikut dalam bentuk ketidaksamaan.

      a. Jumlah x dan 4 kurang dari 6.

      b. Hasil pengurangan p dari 9 lebih dari –6.

      c. 3 dikurangkan dari y hasilnya tidak kurang dari 2.

      d. Hasil kali 5 dan x kurang dari atau sama dengan 12.

5. Dari bentuk-bentuk berikut, manakah yang merupakan pertidaksamaan linear

    satu variabel? Jelaskan jawabanmu.

a.       x + 6 < 9

b. 8 –  > –1

c. m + n  ≤  4

d.  -  ≥ - 3

e. 4 – 2x –  ≥ 0

f. 3(x – 5) < 2(8 – x)

g. 2  – 4pq + 3  > 0

h. 4x – 4  ≥  3y + 8

3. Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Pada bagian depan telah kalian pelajari cara menyelesaikan persamaan linear satu variabel, salah satunya dengan substitusi (penggantian). Hal ini juga berlaku pada pertidaksamaan linear satu variabel.

Perhatikan pertidaksamaan 10 – 3x > 2, dengan x variabel pada himpunan bilangan asli.

Jika x diganti 1 maka 10 – 3x > 2

⇔ 10 – 3 × 1 > 2

⇔   7 > 2        (pernyataan benar)

Jika x diganti 2 maka 10 – 3x > 2

⇔ 10 – 3 ×  2 > 2

⇔   4 > 2 (pernyataan benar)

Jika x diganti 3 maka 10 – 3x > 2

⇔ 10 – 3 × 3 > 2

⇔   1 > 2 (pernyataan salah)

Jika x diganti 4 maka 10 – 3x > 2

⇔ 10 – 3 ×  4 > 2

⇔  –2 > 2 (pernyataan salah)

Ternyata untuk x = 1 dan x = 2, pertidaksamaan 10 – 3x > menjadi kalimat yang benar. Jadi, himpunan penyelesaian dari 10 – 3x > 2 adalah {1, 2}.

Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut.

Pengganti variabel dari suatu pertidaksamaan, sehingga menjadi pernyataan yang

benar disebut penyelesaian dari pertidaksamaan linear satu variabel.

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 4x – 2 > 3x + 5 dengan x

variabel pada himpunan bilangan cacah.

Penyelesaian:

Cara 1

Dengan mengganti tanda “>” dengan “=” diperoleh persamaan 4x – 2 = 3x + 5.

Dengan cara menyelesaikan persamaan tersebut diperoleh penyelesaiannya adalah

x = 7. Selanjutnya ambillah satu bilangan cacah yang kurang dari 7 dan lebih dari 7.

Periksalah nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 4x – 2 > 3x + 5.

Jika x diganti 6 maka 4 ×  6 – 2 > 3 ×  6 + 5

22 > 23  (bernilai salah)

Jika x diganti 8 maka 4 ×  8 – 2 > 3 ×  8 + 5

30 > 29  (bernilai benar)

Karena nilai x yang memenuhi adalah lebih besar dari 7, maka himpunan penyelesaian

dari 4x – 2 > 3x + 5 adalah {8, 9, 10, ...}.

Cara 2

4x – 2 > 3x + 5

⇔œ     4x – 2 + 2       > 3x + 5 + 2   (kedua ruas ditambah 2)

⇔                    4x      > 3x + 7

⇔        4x + (–3x)     > 3x + (–3x) + 7 (kedua ruas ditambah –3x)

⇔                            x > 7

Karena x variabel pada himpunan bilangan cacah maka himpunan

penyelesaiannya adalah {8, 9, 10, ...}.

Cara 3

4x – 2 > 3x + 5

⇔              4x – 2 – 5 > 3x + 5 – 5 (kedua ruas dikurangi 5)

⇔                    4x – 7 > 3x

⇔       4x + (–4x) – 7 > 3x + (–4x) (kedua ruas ditambah –4x)

⇔                          –7 > –x

⇔                –7 : (–1) < –x : (–1) (kedua ruas dibagi dengan –1 tetapi tanda ketidaksamaan

      berubah menjadi <)

            ⇔                    7 < x atau x > 7

Karena  x anggota bilangan cacah maka himpunan penyelesaiannya adalah {8, 9, 10, ...}.

Berdasarkan contoh di atas, untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear

satu variablel, dapat dilakukan dalam dua cara sebagai berikut.

a.       Mencari lebih dahulu penyelesaian persamaan yang diperoleh dari pertidaksamaan

dengan tanda “=”.

b. Menyatakan ke dalam pertidaksamaan yang ekuivalen.

Dari uraian tersebut dapat disimpulkan sebagai berikut.

Suatu pertidaksamaan dapat dinyatakan ke dalam pertidaksamaan yang ekuivalen

dengan cara sebagai berikut.

a.      Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama tanpa

mengubah tanda ketidaksamaan.

b.      Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan positif yang sama

tanpa mengubah tanda ketidaksamaan.

c.       Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan negatif yang sama, tetapi

tanda ketidaksamaan berubah, dimana

1) > menjadi <;            3) < menjadi >;

2) ≥  menjadi ≤ ;           4) ≤ menjadi ≥ .

UJI KOMPETENSI 5

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut jika peubah pada

himpunan bilangan cacah.

1. 2x – 1 < 7

2. p + 5  ≥  9

3. 4 – 3q  ≤  10

4. 4x – 2 > 2x + 5

5. 2(x – 3) < 3(2x + 1)

6. 12 – 6y  ≥ –6

D.    MEMBUAT MODEL MATEMATIKA DAN MENYELESAIKAN SOAL CERITA  YANG BERKAITAN DENGAN PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL

Permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan persamaan linear satu variabel biasanya disajikan dalam bentuk soal cerita. Untuk menyelesaikannya, buatlah terlebih dahulu model matematika berdasarkan soal cerita tersebut.Kemudian,selesaikanlah.

Untuk lebih jelasnya, pelajari contoh berikut.            

Contoh:

1. Seorang petani mempunyai sebidang tanah berbentuk persegi panjang. Lebar tanah

tersebut 6 m lebih pendek daripada panjangnya. Jika keliling tanah 60 m, tentukan luas

tanah petani tersebut.

Penyelesaian:

Misalkan panjang tanah = x maka lebar tanah = x – 6.

Model matematika dari soal di samping adalah p = x dan  l = x – 6, sehingga

 K = 2(p + l)

60 =  2(x + x – 6)                                                              x - 6

                                                                       

                                                                        x

Penyelesaian model matematika di atas sebagai berikut.

K= 2(p + l)

⇔  60          =  2(x + x – 6)

⇔  60          =  2(2x – 6)

⇔  60          =  4x – 12

⇔  60 + 12  =  4x – 12 + 12

⇔  72          =  4x

⇔             =

⇔ 18           = x

Luas = p  ×  l

= x (x – 6)

= 18(18 – 6)

= 18 × 12 = 216

Jadi, luas tanah petani tersebut adalah 216

2. Diketahui harga sepasang sepatu dua kali harga sepasang sandal. Seorang pedagang

membeli 4 pasang sepatu dan 3 pasang sandal. Pedagang tersebut harus membayar

            Rp275.000,00.

a. Buatlah model matematika dari keterangan di atas.

b. Selesaikanlah model matematika tersebut. Kemudian, tentukan harga 3 pasang

sepatu dan 5 pasang sandal.

Penyelesaian:

a.       Misalkan harga sepasang sepatu =  x dan harga sepasang sandal = y. Model

matematika berdasarkan keterangan di atas adalah x = 2y dan 4x + 3y = 275.000.

b.      Dari model matematika diketahui x = 2y dan 4x + 3y = 275.000. Digunakan

motode substitusi, sehingga diperoleh

                        4x + 3y            =  275.000

⇔ 4 (2y) + 3y             =  275.000

⇔ 8y +  3y                  =  275.000

⇔ 11y                                     =  275.000

⇔ y                             =  25.000

Karena x = 2y dan y = 25.000, maka

x = 2  ×  25.000

x = 50.000

Jadi, harga sepasang sepatu adalah Rp50.000,00 dan harga sepasang sandal Rp25.000,00.

Harga 3 pasang sepatu dan 5 pasang sandal dapat ditulis sebagai 3x + 5y, sehingga

  3x + 5y          = (3  × 50.000) + (5 × 25.000)

= 150.000 + 125.000

= 275.000

Jadi, harga 3 pasang sepatu dan 5 pasang sandal adalah Rp275.000,00.

UJI KOMPETENSI 6

1. Diketahui harga 1 kg buah anggur tiga kali harga 1 kg buah salak. Jika ibu mem

    beli 2 kg buah anggur dan 5 kg buah salak maka ibu harus membayar Rp38.500,00.

a. Buatlah kalimat matematika dari keterangan di atas, kemudian selesaikanlah.

b. Berapakah harga 1 kg buah anggur dan 1 kg buah salak?

c. Jika seseorang membeli 3 kg buah anggur dan 4 kg buah salak, berapakah ia

    harus membayar?

2.      Model kerangka sebuah balok dibuat dari seutas kawat berukuran panjang

(x + 6) cm, lebar x cm, dan tinggi (x – 5) cm.

a.       Berdasarkan keterangan tersebut, nyatakan rumus panjang kawat yang dibutuhkan

dalam x.

b. Jika panjang kawat yang diperlukan 100 cm, tentukan ukuran balok tersebut.

c. Hitunglah volume balok tersebut.

3. Jumlah tiga bilangan genap yang berurutan adalah 108. Tentukan bilangan-bilangan itu.

4. Umur Vera 4 tahun kurangnya dari umur Togar. Jika jumlah umur mereka 24 tahun,

    tentukan umur mereka masing-masing.

5. Sebuah persegi panjang mempunyai ukuran panjang (3x – 4) cm dan lebar (x + 1) cm.

a. Tulislah rumus kelilingnya dan nyatakan dalam bentuk yang paling sederhana.

b. Jika kelilingnya 34 cm, tentukan luas persegi panjang tersebut.

E.     MEMBUAT MODEL MATEMATIKA DAN MENYELESAIKAN SOAL CERITA YANG BERKAITAN DENGAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL

1. Suatu model kerangka balok terbuat dari kawat dengan ukuran panjang (x + 5) cm, lebar (x – 2) cm, dan tinggi x cm.

a. Tentukan model matematika dari persamaan panjang kawat yang diperlukan dalam x.

b. Jika panjang kawat yang digunakan seluruhnya tidak lebih dari 132 cm, tentukan

    ukuran maksimum balok tersebut.

Penyelesaian:

a. Misalkan panjang kawat yang diperlukan = K, maka model matematikanya sebagai berikut.

K         = 4p + 4l + 4t

= 4(x + 5) + 4(x – 2) + 4 ×  x                                                      x cm

= 4x + 20 + 4x – 8 + 4x

= 12x + 12                                                                               (x – 2) cm

                                                                        (x + 5) cm

b.      Panjang kawat tidak lebih dari 132 cm dapat ditulis K = 12x + 12 ≤  132 cm,

sehingga diperoleh

             12x + 12 ≤  132

⇔ 12x + 12 – 12 ≤  132 – 12

⇔ 12x ≤  120

⇔  × 12x  ≤ 120 ×   x

⇔ x = 10

Nilai maksimum x = 10 cm, sehingga diperoleh p = (x + 5) cm = 15 cm

l = (x – 2) cm = 8 cm t = x = 10 cm.

Jadi, ukuran maksimum balok adalah (15 ×  8 ×  10) cm.

3.      Permukaan sebuah meja berbentuk persegi panjang dengan panjang 16x cm dan lebar

10x cm. Jika luasnya tidak kurang dari 40 , tentukan ukuran minimum permukaan meja tersebut.

Penyelesaian:

Diketahui panjang permukaan meja (p) = 16x, lebar (l) =10x, dan luas = L.

Model matematika dari luas persegi panjang adalah

L    =  p × l

= 16x × 10x

= 160

      Luas tidak kurang dari 40 = 4.000 dapat ditulis

      L = 160  ≥ 4.000, sehingga diperoleh

 160   ≥ 4.000

      ⇔          ≥ 25

      ⇔ x           ≥ 5

     Nilai minimum x = 5 cm, sehingga diperoleh

     p = 16x cm = 16 × 5 cm = 80 cm

     l = 10x cm  = 10 × 5 cm = 50 cm.

    Jadi, ukuran minimum permukaan meja tersebut adalah (80 × 50) cm.

UJI KOMPETENSI 7

1.      Persegi panjang mempunyai panjang (x + 7) cm dan lebar (x – 2) cm. Jika

kelilingnya tidak lebih dari 50 cm, tentukan luas maksimum persegi panjang tersebut.

2.   Panjang diagonal-diagonal suatu layang-layang adalah (2x – 3) cm dan (x + 7) cm.

      Jika diagonal pertama lebih panjang dari diagonal kedua, tentukan luas minimum

      layang-layang tersebut.

3.   Model kerangka kubus dibuat dari kawat yang panjang rusuknya (x + 2) cm.

      Jika panjang kawat yang diperlukan tidak melebihi 180 cm, tentukan panjang rusuk

      kubus tersebut.

4.      Panjang diagonal-diagonal suatu jajargenjang diketahui berturut-turut (3x – 5) cm dan

(x + 7) cm. Jika diagonal pertama lebih panjang dari diagonal kedua, susunlah pertidaksamaan yang memenuhi dan selesaikanlah.

5.      Suatu lempeng logam berbentuk segitiga dengan panjang sisi-sisinya 3a cm, 4a cm,

dan 5a cm. Jika kelilingnya tidak kurang dari 72 cm, tentukan ukuran minimum segitiga tersebut.

EVALUASI

1.      Penyelesaian dari persamaan 6 – 2x = 5x + 20 dengan  x variabel pada himpunan

bilangan bulat adalah ....

a. x = 1                  c. x = –2

b. x = 2                  d. x = –1

2.   Diketahui persamaan-persamaan berikut.

                  (i)  - 3 = 1          (iii) x – 15 = 5

                  (ii) x – 5 = 5           (iv) 3x – 45 = 15

     Dari persamaan di atas yang merupakan persamaan ekuivalen adalah ....

     a. (i), (ii), dan (iii)

     b. (i), (iii), dan (iv)

     c. (i), (ii), dan (iv)

     d. (ii), (iii), dan (iv)

3.  Panjang sisi-sisi sebuah segitiga diketahui 2x cm, (2x + 2) cm, dan (3x + 1) cm.

     Jika kelilingnya 24 cm, panjang sisi yang terpanjang adalah ....

     a. 6 cm                    c. 10 cm

     b. 8 cm                   d. 12 cm

4.  Harga sebuah buku sama dengan dua kali harga pensil. Jika 6 buku dan 15

     pensil harganya Rp21.600,00, harga satu buku adalah ....

     a. Rp1.600,00         c. Rp800,00

     b. Rp1.500,00        d. Rp750,00

5.  Tiga bilangan genap yang berurutan jumlahnya 108. Bilangan yang terbesar adalah ....

     a. 36                       c. 40

     b. 38                       d. 44

6.  Jika pengurangan 2x dari 3 hasilnya tidak kurang dari 5 maka nilai x adalah....

     a. x  ≥  4                 c. x  ≤  4

     b. x  ≥ –1                d. x  ≤  –1