PERSAMAAN
DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL
A.
KALIMAT
TERBUKA
1. Pernyataan
Dalam kehidupan sehari-hari sering
kita menjumpai berbagai macam kalimat berikut
a. Jakarta
adalah ibukota Indonesia
b. Gunung
Merapi terletak di Jawa Tengah
c. 8
> -5
Ketiga kalimat diatas
merupakan kalimat yang bernilai benar, karena setiap orang mengakui kebenaran
kalimat tersebut. Selanjutnya perhatikan kalimat-kalimat berikut.
a. Tugu
Monas terletak di Yogyakarta
b. 2
+ 5 < -2
c. Matahari
terbenam diarah timur
Ketiga kalimat tersebut
merupakan kalimat yang bernilai salah, karena setiap orang tidak sependapat
dengan kalimat tersebut.
Kalimat yang dapat
ditentukan nilai kebenarannya(bernilai benar atau salah) disebut pernyataan.
2. Kalimat
terbuka dan Himpunan penyelesaian kalimat terbuka
Dapatkah kalian menjawab kalimat
pernyataan “Indonesia terletak di benua x”.
Jika x diganti Asia maka kalimat itu
bernilai benar. Adapun jika x diganti
Eropa maka kalimat tersebut bernilai salah. Kalimat “ Indonesia terletak di
benua x” disebut kalimat terbuka.
Contoh:
a. 3
- x = 6, x anggota bilangan bulat
b. 12
– y = 7, y anggota himpunan bilangan cacah
c. z × 5 = 15, z anggota himpunan bilangan asli
Kalimat 3 – x = 6,x anggota bilangan bulat akan bernilai benar jika x diganti dengan – 3. Selanjutnya x disebut variabel, sedangkan 3 dan 6
disebut konstanta
Kalimat terbuka adalah
kalimat yang memuat variabel dan belum ditentukan nilai kebenarannya
Variabel
adalah lambang(simbol) pada kalimat terbuka yang dapat diganti oleh sebarang
anggota himpunan yang telah ditentukan.
Konstanta
adalah nilai tetap (tertentu) yang terdapat pada kalimat terbuka.
Sekarang perhatikan
kalimat
9.
Jika variabel x diganti -3 atau 3 maka kalimat
=
9 bernilai benar. Dalam hal ini x =
-3 atau x = 3 adalah penyelesaian
dari kalimat terbuka
9. Jadi himpunan penyelesaian
=
9 adalah {-3, 3}.
Himpunan
penyelesaian dari kalimat terbuka adalah himpunan dari
semua pengganti dari variabel-variabel pada kalimat terbuka sehingga kalimat
tersebut bernilai benar.
UJI
KOMPETENSI 1
1. Tentukan
nilai kebenaran kalimat berikut.
a. Jumlah
dua bilangan ganjil selalu merupakan bilangan genap
b. 18
+ 6 = 6 + 18 merupakan sifat asosiatif penjumlahan
c. Hasil
kali 3 dan 9 adalah 21
d. Arti
4 × 5 adalah 5 + 5 + 5 + 5
e. Jika
p dan q adalah bilangan prima maka p × q
adalah bilangan ganjil
2. Jika
x adalah variabel pada bilangan 3,6,9,12 dan 15, tentukan penyelesaian kalimat
terbuka dibawah ini.
a. x habis dibagi 3
b. x adalah bilangan
ganjil
c. x adalah faktor dari
30
d. x – 3 = 6
e. x adalah bilangan
prima
3. Tentukan
himpunan penyelesaian dari kalimat berikut jika variabel pada himunan bilanan
bulat.
a. x + 8 = 17
b. y : 5 = - 12
c. 15
– p = 42
d. 9
– m = 108
e. n + n +
n + n = 52
f. a × a
= 81
4. Tentukan
himpunan penyelesaian kalimat terbuka berikut jika x adalah variabel pada himpunan A = {1,2,3…,25}
a. x adalah faktor
dari 25
b. x adalah bilangan
prima
c. x adalah bilangan
ganjil kurang dari 15
d. x adalah
kelipatan 2
B.
PERSAMAAN
LINEAR SATU VARIABEL
1.
Pengertian
persamaan dan himpunan penyelesaian persamaan linear satu variabel
Perhatikan kalimat terbuka x + 1 = 5
Kalimat terbuka tersebut
dihubungkan oleh tanda sama dengan (=). Selanjutnya,kalimat terbuka dihubungkan
oleh tanda sama dengan (=) disebut persamaan.
Persamaan dengan satu variabel
berpangkat satu atau berderajat satu disebut persamaan linear satu variabel
Jika x pada persamaan x + 1 =
5 diganti dengan x = 4 maka persamaan
tersebut bernilai benar. Adapun jika x
diganti bilangan selain 4 maka persamaan x
+ 1 = 5 bernilai salah. Dalam hal ini x
= 4 disebut penyelesaian dari persamaan linear x + 1 = 5. Selanjutnya himpunan penyelesaian dari x + 1 = 5 adalah {4}.
Pengganti variabel x yang mengakibatkan persamaan bernilai
benar disebut penyelesaian persamaan
linear. Himpunan semua penyelesaian persamaan linear disebut himpunan penyelesaian persamaan linear.
Persamaan linear satu variabel
adalah kalimat terbuka yang dihubungkan oleh tanda sama dengan (=) dan hanya
mempunyai variabel berangkat satu. Bentuk umum persamaan liear satu variabel
adalah ax + b = 0 dengan a ≠ 0.
Contoh:
1. Dari
kalimat berikut tentukan yang mana
merupakan persamaan linear satu variabel
a. 2
x – 3 = 5
b.
- x = 2
c.
x = 5
d. 2
x + 3y = 6
Penyelesaian:
a. 2 x
– 3 = 5
Variabel
pada 2 x – 3 = 5 adalah x dan
berpangkat 1,sehingga persamaan 2 x –
3 = 5 merupakan ersamaan linear satu variabel
b.
- x
= 2
Variabel
pada persamaan
– x = 2 adalah x berpangkat 1 dan 2. Karena terdapat x berpangkat 2 maka persamaan
- x
= 2 bukan merupakan persamaan linear satu variabel.
c.
x = 5
Karena
variabel pada persamaan
x = 5 adalah x dan berpangkat 1,maka
x = 5 merupakan persamaan linear satu
variabel.
d. 2 x
+ 3 y = 6
Variabel
pada persamaan 2 x + 3 y = 6 ada dua
yaitu x dan y, sehingga 2 x + 3 y = 6 bukan merupakan persamaan linear
satu variabel.
2.
Himpunan
penyelesaian persamaan linear satu variabel dengan Substitusi
Penyelesaian
persamaan linear satu variabel dapat diperoleh dengan cara subtitusi, yaitu
mengganti variabel dengan bilangan yang sesuai sehingga persamaan tersebut
menjadi kalimat yang bernilai benar.
Contoh:
Tentukan
himpunan penyelesaian dari persamaan x
+ 4 = 7, jika x pada himpunan
bilangan cacah
Penyelesaian:
Jika
x diganti bilangan,diperoleh
Substitusi
x = 0, maka 0 + 4 = 7 (kalimat salah)
Substitusi
x = 1, maka 1 + 4 = 7 (kalimat salah)
Substitusi
x = 2, maka 2 + 4 = 7 (kalimat salah)
Substitusi
x = 3, maka 3 + 4 = 7 (kalimat benar)
Substitusi
x = 4, maka 4 + 4 = 7 (kalimat salah)
Ternyata
untuk x = 3, persamaan x + 4 = 7 menjadi kalimat yang benar.
Jadi himpuna penyelesaian persamaan x
+ 4 = 7 adalah {3}
UJI KOMPETENSI 2
1. Tentukan
yang merupakan persamaan linear satu variabel dan berikan alasannya.
a. x + y + z
= 20
b.
+
2x – 5 = 0
c.
d. 3x – 2 = 7
e.
+
=
16
f.
2. Tentukan
himpunan penyelesaian dari persamaan-persamaan dibawah ini dengan cara
substitusi, jika peubah (variabelnya) pada himpunan bilangan bulat.
a. 4
+ p = 3 g.
b. q – 2 = 6 h.
c. 2a + 3 = 6 i. 2 – z = z - 3
d. 9
– 3r = 6 j. 3a – 2 = -a + 18
e. 18
= 10 – 2m k.
(4x + 2) = 3
f. 1
= 9 + x l. 2a – 1 = 3a – 5
3.
Persamaan-persamaan
yang ekuivalen
Perhatikan
uraian berikut.
a. x – 3 = 5
jika
x diganti bilangan 8, maka 8 – 3 = 5
(benar)
jadi,
penyelesaian x – 3 = 5 adalah x = 8
b. 2x – 6 = 10… (kedua ruas pada persamaan a
dikalikan 2)
Jika
x diganti bilangan 8 maka 2(8) – 6 =
10
⇔ 16 – 6 = 10 (benar)
Jadi, penyelesaian persamaan 2x – 6 = 10 adalah x = 8
c. x + 4 = 12…
(kedua ruas pada persamaan a ditambah 7)
jika
x diganti bilangan 8, maka 8 + 4 = 12 (benar)
jadi,
penyelesaian persamaan x + 4 = 12
adalah x = 8
Berdasarkan uraian
diatas tampak bahwa ketiga persamaan mempunyai penyelesaian yang sama, yaitu x = 8. Persamaan-persamaan diatas
disebut persamaan yang ekuivalen.
Suatu persamaan yang
ekuivalen dapat dinotasikan dengan “ ⇔
“.
Dengan demikian bentuk x – 3 = 5; 2x – 6 = 10;dan x + 4 = 12
dapat dituliskan sebagai x – 3 = 5 ⇔ 2x – 6 = 10 ⇔
x + 4 = 12. Jadi dapat dikatakan
seperti berikut.
Dua
persamaan atau lebih dikatakan ekuivalen
jika mempunyai himpunan penyelesaian yang sama dan dinotasikan dengan tanda “ ⇔
“.
Amatilah uraian
berikut.
Pada persamaan x – 5 = 4, jika x diganti 9 maka akan bernilai benar, sehingga himpunan
penyelesaian dari x – 5 = 4 adalah
{9}. Perhatikan jika kedua ruas masing-masing ditambahkan dengan bilangan 5
maka
x – 5 = 4
⇔
x – 5 + 5 = 4 + 5
⇔
x
= 9
Jadi, himpunan
penyelesaian persamaan x – 5 = 4
adalah {9}.
Dengan kata lain, persamaan x – 5 = 4 ekuivalen dengan persamaan x = 9, atau ditulis x – 5
= 4 ⇔ x = 9
Suatu
persamaan dapat dinyatakan ke dalam persamaan yang ekuivalen dengan cara
a.
menambah
atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama;
b.
mengalikan
atau membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama.
Contoh:
1. Tentukan
himpunan penyelesaian persamaan 4x –
3 = 3x + 5 jika x variabel
pada
himpunan
bilangan bulat.
Penyelesaian:
4x –
3 = 3x + 5
⇔
4x – 3 + 3 = 3x + 5 + 3 (kedua ruas ditambah 3)
⇔
4x = 3x
+ 8
⇔
4x – 3x = 3x
– 3x + 8 (kedua ruas dikurangi 3x)
⇔ x = 8
Jadi,
himpunan penyelesaian persamaan 4x –
3 = 3x + 5 adalah x = {8}.
2. Tentukan
himpunan penyelesaian dari persamaan 3x
+ 13 =5 – x, untuk x variabel pada himpunan bilangan bulat.
Penyelesaian:
3x + 13 = 5 – x
⇔ 3x + 13 – 13 = 5 – x – 13
(kedua ruas dikurangi 13)
⇔ 3x = –8 – x
⇔ 3x + x = –8 – x + x (kedua ruas
ditambah x)
⇔ 4x = –8
⇔
x 4x =
x (-8) (kedua
ruas dikalikan
)
⇔ x = (-2)
Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan
3x + 13 = 5 – x adalah x = {–2}.
UJI KOMPETENSI 3
1. Tentukan
himpunan penyelesaian dari persamaan berikut dengan menambah
atau
mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama, jika variabel pada himpunan
bilangan bulat.
a. m – 9 = 13
b.
–11 + x = 3
c.
2a + 1 = a – 3
d.
12 + 3a = 5 + 2a
e.
3(x + 1) = 2(x + 4)
f.
5(y – 1) = 4y
g.
4(3 – 2y) = 15 – 7y
h.
3(2y – 3) = 5(y – 2)
i.
8 – 2(3 – 4y) = 7y – 1
j.
5x + 7(3x + 2) = 6(4x + 1)
2. Tentukan himpunan
penyelesaian dari persamaan berikut dengan mengalikan
atau membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama, jika variabel pada
himpunan bilangan bulat.
a.
2x + 3 = 11
b.
7x = 8 + 3x
c.
3p + 5 = 17 – p
d.
7q = 5q – 12
e.
6 – 5y = 9 – 4y
f.
7n + 4 = 4n – 17
g.
2(5 – 2x) = 3(5 – x)
h.
–2x + 5 = –(x + 9)
i.
18 + 7x = 2(3x – 4)
j.
3(2x – 3) – 2(1 – x) – (x + 3) = 0
C.
PERTIDAKSAMAAN
LINEAR SATU VARIABEL
Dalam
kehidupan sehari-hari, tentu kalian pernah menjumpai atau menemukan
kalimat-kalimat
seperti berikut.
a. Berat badan Asti
lebih dari 52 kg.
b. Tinggi badan Amri 7
cm kurang dari tinggi badanku.
c. Salah satu syarat
menjadi anggota TNI adalah tinggi badannya
tidak kurang dari 165 cm.
d. Sebuah bus dapat
mengangkut tidak lebih dari 55 orang.
Bagaimana menyatakan
kalimat-kalimat tersebut dalam bentuk kalimat matematika?
Untuk dapat menjawabnya
pelajari uraian berikut.
1.
Pengertian Ketidaksamaan
Agar kalian memahami
pengertian ketidaksamaan, coba ingat
kembali materi di
sekolah dasar mengenai penulisan notasi <, >,
≤ , ≥ , dan ≠ .
a. 3 kurang dari 5
ditulis 3 < 5.
b. 8 lebih dari 4
ditulis 8 > 4.
c. x tidak lebih dari 9 ditulis x
≤ 9.
d. Dua kali y tidak
kurang dari 16 ditulis 2y
16.
Kalimat-kalimat 3 < 5, 8 > 4,
x
≤ 9, dan 2y ≥ 16 disebut ketidaksamaan.
Secara umum dapat
dituliskan sebagai berikut.
Suatu ketidaksamaan
selalu ditandai dengan salah satu tanda hubung berikut.
“<” untuk
menyatakan kurang dari.
“>” untuk
menyatakan lebih dari.
“≤ ” untuk
menyatakan tidak lebih dari atau kurang dari
atau sama dengan.
“ ≥ ” untuk
menyatakan tidak kurang dari atau lebih dari atau sama dengan.
2.
Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
Di bagian depan telah
kalian pelajari bahwa suatu persamaan
selalu ditandai dengan
tanda hubung “=”. Pada bagian ini kalian akan mempelajari ciri
suatu pertidaksamaan.
Perhatikan kalimat
terbuka berikut.
a. 6x < 18 c. p
+ 2 ≤
5
b. 3p – 2 > p d.
3x – 1 ≥ 2x + 4
Kalimat terbuka di atas
menyatakan hubungan ketidaksamaan.Hal ini ditunjukkan
adanya tanda hubung
<, >, ≤ , atau ≥. Kalimat terbuka
yang menyatakan
hubungan ketidaksamaan (<,
>, ≤ , atau ≥ ) disebut pertidaksamaan.
Pada kalimat (a) dan
(d) di atas masing-masing mempunyai satu variabel yaitu x
yang berpangkat satu
(linear). Adapun pada kalimat (b) dan (c) mempunyai satu
variabel berpangkat
satu, yaitu p. Jadi, kalimat terbuka
di atas menyatakan
suatu pertidaksamaan yang
mempunyai satu variabel dan berpangkat satu.
Pertidaksamaan linear
satu variabel adalah pertidaksamaan yang hanya mempunyai
satu variabel dan
berpangkat satu (linear).
Dari bentuk-bentuk
berikut, tentukan yang merupakan pertidaksamaan linear dengan
satu variabel.
a. x – 3 < 5
b. a ≤ 1 – 2b
c.
–
3x
≥ 4
Penyelesaian:
a. x – 3 < 5
Pertidaksamaan x – 3 < 5 mempunyai satu
variabel,yaitu x dan berpangkat 1, sehingga
x –
3 < 5 merupakan pertidaksamaan linear satu variabel.
b. a ≤ 1 – 2b
Pertidaksamaan a ≤
1 – 2b mempunyai dua
variabel,yaitu a dan b yang masing-
masing berpangkat 1.Dengan
demikian a ≤ 1 –
2b bukan suatu pertidaksamaan linear
satu variabel.
c.
–
3x
≥ 4
Karena
pertidaksamaan
–
3x
≥ 4 mempunyai variabel x dan
, maka
–
3x ≥ 4
bukan merupakan pertidaksamaan linear satu
variabel.
UJI KOMPETENSI 4
1. Sisipkan
lambang >, =, atau < di antara pasangan bilangan di bawah ini sehingga
menjadi
pernyataan yang benar.
a.
3 … –8 d. –2 … –4
b.
16 … 42 e.
…
c.
0,1 … 0,5
2. Tulislah kalimat
berikut dalam bentuk ketidaksamaan.
a. 9 kurang dari 13
b. 3 terletak antara –2 dan 5
c. m lebih dari 4
d. y
tidak kurang dari 50
e. n
tidak lebih dari 45
f.
l paling sedikit 72
3. Nyatakan
bentuk-bentuk berikut menjadi satu ketidaksamaan.
a. 3 < 5 dan 5 < 8
b. 0 > –1 dan –1 > –5
c. 10 > 4 dan 10 < 15
d. 2 < 6 dan 2 > –3
e. 3 > –6 dan 3 < 10
f. –5 < 0 dan –5 > –7
4. Tulislah kalimat
berikut dalam bentuk ketidaksamaan.
a. Jumlah x dan 4 kurang dari 6.
b. Hasil pengurangan p dari 9 lebih dari –6.
c. 3 dikurangkan dari y hasilnya tidak kurang dari 2.
d. Hasil kali 5 dan x kurang dari atau sama dengan 12.
5. Dari bentuk-bentuk
berikut, manakah yang merupakan pertidaksamaan linear
satu variabel? Jelaskan jawabanmu.
a. x + 6 < 9
b. 8 –
> –1
c. m + n ≤ 4
d.
-
≥
- 3
e. 4 – 2x –
≥
0
f. 3(x – 5) < 2(8 – x)
g. 2
–
4pq + 3
> 0
h. 4x – 4
≥ 3y + 8
3.
Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
Pada bagian depan telah
kalian pelajari cara menyelesaikan persamaan linear satu variabel, salah satunya
dengan substitusi (penggantian). Hal ini juga berlaku pada pertidaksamaan
linear satu variabel.
Perhatikan
pertidaksamaan 10 – 3x > 2, dengan
x variabel pada himpunan bilangan
asli.
Jika x diganti 1 maka
10 – 3x > 2
⇔
10 – 3 × 1 > 2
⇔
7
> 2 (pernyataan benar)
Jika x diganti 2 maka
10 – 3x > 2
⇔ 10 – 3 × 2 > 2
⇔
4
> 2 (pernyataan benar)
Jika x diganti 3 maka
10 – 3x > 2
⇔
10
– 3 × 3 > 2
⇔
1
> 2 (pernyataan salah)
Jika x diganti 4 maka
10 – 3x > 2
⇔ 10 – 3 × 4 > 2
⇔ –2 > 2 (pernyataan salah)
Ternyata untuk x = 1 dan x = 2, pertidaksamaan 10 – 3x
> menjadi kalimat yang benar. Jadi, himpunan penyelesaian dari 10 – 3x > 2 adalah {1, 2}.
Secara umum dapat
dituliskan sebagai berikut.
Pengganti
variabel dari suatu pertidaksamaan, sehingga menjadi pernyataan yang
benar
disebut penyelesaian dari pertidaksamaan linear satu variabel.
Contoh:
Tentukan himpunan
penyelesaian dari pertidaksamaan 4x –
2 > 3x + 5 dengan x
variabel pada himpunan bilangan
cacah.
Penyelesaian:
Cara 1
Dengan mengganti tanda
“>” dengan “=” diperoleh persamaan 4x
– 2 = 3x + 5.
Dengan cara
menyelesaikan persamaan tersebut diperoleh penyelesaiannya adalah
x
= 7. Selanjutnya ambillah satu bilangan cacah yang kurang dari 7 dan lebih dari
7.
Periksalah nilai x yang
memenuhi pertidaksamaan 4x – 2 > 3x + 5.
Jika x diganti 6 maka 4
× 6 – 2 > 3 × 6 + 5
22
> 23 (bernilai salah)
Jika x diganti 8 maka 4
× 8 – 2 > 3 × 8 + 5
30
> 29 (bernilai benar)
Karena nilai x yang
memenuhi adalah lebih besar dari 7, maka himpunan penyelesaian
dari 4x – 2 > 3x + 5 adalah {8, 9, 10, ...}.
Cara 2
4x – 2 > 3x + 5
⇔
4x – 2 + 2 > 3x
+ 5 + 2 (kedua ruas ditambah 2)
⇔
4x > 3x
+ 7
⇔ 4x + (–3x) > 3x
+ (–3x) + 7 (kedua ruas ditambah –3x)
⇔
x > 7
Karena x variabel pada himpunan bilangan cacah
maka himpunan
penyelesaiannya adalah
{8, 9, 10, ...}.
Cara 3
4x – 2 > 3x + 5
⇔
4x – 2 – 5 > 3x + 5 – 5
(kedua ruas dikurangi 5)
⇔ 4x – 7 > 3x
⇔ 4x + (–4x) – 7 > 3x + (–4x) (kedua ruas ditambah –4x)
⇔
–7 > –x
⇔ –7 : (–1) < –x : (–1) (kedua ruas dibagi dengan –1
tetapi tanda ketidaksamaan
berubah menjadi <)
⇔ 7
< x atau x > 7
Karena x
anggota bilangan cacah maka himpunan penyelesaiannya adalah {8, 9, 10, ...}.
Berdasarkan contoh di
atas, untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear
satu variablel, dapat
dilakukan dalam dua cara sebagai berikut.
a. Mencari
lebih dahulu penyelesaian persamaan yang diperoleh dari pertidaksamaan
dengan
tanda “=”.
b. Menyatakan ke dalam
pertidaksamaan yang ekuivalen.
Dari uraian tersebut
dapat disimpulkan sebagai berikut.
Suatu
pertidaksamaan dapat dinyatakan ke dalam pertidaksamaan yang ekuivalen
dengan
cara sebagai berikut.
a.
Menambah
atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama tanpa
mengubah tanda
ketidaksamaan.
b.
Mengalikan
atau membagi kedua ruas dengan bilangan positif yang sama
tanpa mengubah tanda
ketidaksamaan.
c.
Mengalikan
atau membagi kedua ruas dengan bilangan negatif yang sama, tetapi
tanda ketidaksamaan berubah, dimana
1)
> menjadi <; 3) <
menjadi >;
2)
≥ menjadi ≤ ; 4) ≤ menjadi ≥ .
UJI
KOMPETENSI 5
Tentukan himpunan
penyelesaian pertidaksamaan berikut jika peubah pada
himpunan bilangan
cacah.
1. 2x – 1 < 7
2. p + 5 ≥ 9
3. 4 – 3q
≤ 10
4. 4x – 2 > 2x + 5
5. 2(x – 3) < 3(2x + 1)
6. 12 – 6y
≥ –6
D.
MEMBUAT
MODEL MATEMATIKA DAN MENYELESAIKAN SOAL CERITA
YANG BERKAITAN DENGAN PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL
Permasalahan
dalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan persamaan linear satu
variabel biasanya disajikan dalam bentuk soal cerita. Untuk menyelesaikannya,
buatlah terlebih dahulu model matematika berdasarkan soal cerita
tersebut.Kemudian,selesaikanlah.
Untuk
lebih jelasnya, pelajari contoh berikut.
Contoh:
1. Seorang petani mempunyai
sebidang tanah berbentuk persegi panjang. Lebar tanah
tersebut 6 m lebih
pendek daripada panjangnya. Jika keliling tanah 60 m, tentukan luas
tanah petani tersebut.
Penyelesaian:
Misalkan panjang tanah
= x maka lebar tanah = x – 6.
Model matematika dari
soal di samping adalah p = x dan l = x – 6, sehingga
K = 2(p
+ l)
60 = 2(x
+ x – 6)
x - 6
x
Penyelesaian model
matematika di atas sebagai berikut.
K= 2(p + l)
⇔
60 =
2(x + x – 6)
⇔
60 = 2(2x
– 6)
⇔
60 = 4x – 12
⇔
60 + 12 = 4x – 12 + 12
⇔
72 =
4x
⇔
=
⇔ 18 = x
Luas = p
× l
= x (x – 6)
= 18(18 – 6)
= 18 × 12 = 216
Jadi, luas tanah petani
tersebut adalah 216
2. Diketahui harga sepasang
sepatu dua kali harga sepasang sandal. Seorang pedagang
membeli 4 pasang sepatu
dan 3 pasang sandal. Pedagang tersebut harus membayar
Rp275.000,00.
a. Buatlah model matematika
dari keterangan di atas.
b. Selesaikanlah model matematika
tersebut. Kemudian, tentukan harga 3 pasang
sepatu dan 5 pasang
sandal.
Penyelesaian:
a. Misalkan
harga sepasang sepatu = x dan harga sepasang sandal = y. Model
matematika
berdasarkan keterangan di atas adalah x
= 2y dan 4x + 3y = 275.000.
b. Dari
model matematika diketahui x = 2y dan 4x + 3y = 275.000.
Digunakan
motode
substitusi, sehingga diperoleh
4x + 3y
= 275.000
⇔
4 (2y) + 3y = 275.000
⇔
8y + 3y = 275.000
⇔
11y = 275.000
⇔
y = 25.000
Karena x = 2y
dan y = 25.000, maka
x
= 2 ×
25.000
x
= 50.000
Jadi, harga sepasang
sepatu adalah Rp50.000,00 dan harga sepasang sandal Rp25.000,00.
Harga 3 pasang sepatu
dan 5 pasang sandal dapat ditulis sebagai 3x
+ 5y, sehingga
3x
+ 5y =
(3 × 50.000) + (5 × 25.000)
=
150.000 + 125.000
=
275.000
Jadi, harga 3 pasang
sepatu dan 5 pasang sandal adalah Rp275.000,00.
UJI
KOMPETENSI 6
1. Diketahui harga 1 kg
buah anggur tiga kali harga 1 kg buah salak. Jika ibu mem
beli 2 kg buah anggur dan 5 kg buah salak maka
ibu harus membayar Rp38.500,00.
a. Buatlah kalimat
matematika dari keterangan di atas, kemudian selesaikanlah.
b. Berapakah harga 1 kg
buah anggur dan 1 kg buah salak?
c. Jika seseorang
membeli 3 kg buah anggur dan 4 kg buah salak, berapakah ia
harus membayar?
2. Model
kerangka sebuah balok dibuat dari seutas kawat berukuran panjang
(x + 6) cm, lebar x cm, dan tinggi (x – 5)
cm.
a. Berdasarkan
keterangan tersebut, nyatakan rumus panjang kawat yang dibutuhkan
dalam
x.
b. Jika panjang kawat
yang diperlukan 100 cm, tentukan ukuran balok tersebut.
c. Hitunglah volume
balok tersebut.
3. Jumlah tiga bilangan
genap yang berurutan adalah 108. Tentukan bilangan-bilangan itu.
4. Umur Vera 4 tahun
kurangnya dari umur Togar. Jika jumlah umur mereka 24 tahun,
tentukan umur mereka masing-masing.
5. Sebuah persegi
panjang mempunyai ukuran panjang (3x
– 4) cm dan lebar (x + 1) cm.
a. Tulislah rumus
kelilingnya dan nyatakan dalam bentuk yang paling sederhana.
b. Jika kelilingnya 34
cm, tentukan luas persegi panjang tersebut.
E.
MEMBUAT
MODEL MATEMATIKA DAN MENYELESAIKAN SOAL CERITA YANG BERKAITAN DENGAN
PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL
1. Suatu model kerangka balok
terbuat dari kawat dengan ukuran panjang (x
+ 5) cm, lebar (x – 2) cm, dan tinggi
x cm.
a. Tentukan model matematika dari persamaan
panjang kawat yang diperlukan dalam x.
b. Jika panjang kawat yang
digunakan seluruhnya tidak lebih dari 132 cm, tentukan
ukuran maksimum balok tersebut.
Penyelesaian:
a. Misalkan panjang kawat yang diperlukan
= K, maka model matematikanya sebagai berikut.
K =
4p + 4l + 4t
=
4(x + 5) + 4(x – 2) + 4 × x x
cm
=
4x + 20 + 4x – 8 + 4x
=
12x + 12
(x – 2) cm
(x + 5) cm
b. Panjang
kawat tidak lebih dari 132 cm dapat ditulis K = 12x + 12 ≤ 132 cm,
sehingga
diperoleh
12x + 12 ≤ 132
⇔
12x + 12 – 12 ≤ 132 – 12
⇔
12x ≤
120
⇔
× 12x ≤ 120 ×
x
⇔ x
= 10
Nilai maksimum x = 10 cm, sehingga diperoleh p = (x
+ 5) cm = 15 cm
l
= (x – 2) cm = 8 cm t = x
= 10 cm.
Jadi, ukuran maksimum
balok adalah (15 × 8 × 10) cm.
3. Permukaan
sebuah meja berbentuk persegi panjang dengan panjang 16x cm dan lebar
10x cm. Jika luasnya tidak kurang dari 40
, tentukan ukuran minimum permukaan meja
tersebut.
Penyelesaian:
Diketahui
panjang permukaan meja (p) = 16x, lebar (l) =10x, dan luas = L.
Model
matematika dari luas persegi panjang adalah
L
= p × l
=
16x × 10x
=
160
Luas tidak kurang dari 40
= 4.000
dapat ditulis
L = 160
≥
4.000, sehingga diperoleh
160
≥ 4.000
⇔
≥ 25
⇔ x ≥ 5
Nilai minimum x = 5 cm, sehingga diperoleh
p = 16x cm = 16 × 5 cm = 80 cm
l = 10x cm
= 10 × 5 cm = 50 cm.
Jadi, ukuran minimum permukaan meja
tersebut adalah (80 × 50) cm.
UJI
KOMPETENSI 7
1. Persegi
panjang mempunyai panjang (x + 7) cm
dan lebar (x – 2) cm. Jika
kelilingnya
tidak lebih dari 50 cm, tentukan luas maksimum persegi panjang tersebut.
2. Panjang diagonal-diagonal suatu layang-layang
adalah (2x – 3) cm dan (x + 7) cm.
Jika
diagonal pertama lebih panjang dari diagonal kedua, tentukan luas minimum
layang-layang
tersebut.
3. Model kerangka kubus dibuat dari kawat yang
panjang rusuknya (x + 2) cm.
Jika panjang kawat yang diperlukan tidak melebihi
180 cm, tentukan panjang rusuk
kubus tersebut.
4. Panjang
diagonal-diagonal suatu jajargenjang diketahui berturut-turut (3x – 5) cm dan
(x + 7) cm. Jika diagonal pertama lebih
panjang dari diagonal kedua, susunlah pertidaksamaan yang memenuhi dan selesaikanlah.
5. Suatu
lempeng logam berbentuk segitiga dengan panjang sisi-sisinya 3a cm, 4a cm,
dan
5a cm. Jika kelilingnya tidak kurang
dari 72 cm, tentukan ukuran minimum segitiga tersebut.
EVALUASI
1. Penyelesaian
dari persamaan 6 – 2x = 5x + 20 dengan x
variabel pada himpunan
bilangan
bulat adalah ....
a.
x = 1 c. x = –2
b. x = 2 d. x = –1
2. Diketahui persamaan-persamaan berikut.
(i)
-
3 = 1 (iii) x – 15 = 5
(ii) x
– 5 = 5 (iv) 3x – 45 = 15
Dari persamaan di atas yang merupakan
persamaan ekuivalen adalah ....
a. (i), (ii), dan (iii)
b. (i), (iii), dan (iv)
c. (i), (ii), dan (iv)
d. (ii), (iii), dan (iv)
3. Panjang sisi-sisi sebuah segitiga diketahui 2x cm, (2x + 2) cm, dan (3x + 1)
cm.
Jika kelilingnya 24 cm, panjang sisi yang
terpanjang adalah ....
a. 6 cm c.
10 cm
b. 8 cm d.
12 cm
4. Harga sebuah buku sama dengan dua kali harga
pensil. Jika 6 buku dan 15
pensil harganya Rp21.600,00, harga satu
buku adalah ....
a. Rp1.600,00 c. Rp800,00
b. Rp1.500,00 d. Rp750,00
5. Tiga bilangan genap yang berurutan jumlahnya
108. Bilangan yang terbesar adalah ....
a. 36 c.
40
b. 38 d.
44
6. Jika pengurangan 2x dari 3 hasilnya tidak
kurang dari 5 maka nilai x adalah....
a. x ≥ 4 c. x ≤ 4
b. x ≥ –1 d. x
≤ –1